2筑波大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) 交点の一意性 $f(x)=x\sin x+\cos x-1$ とおくと $f'(x)=x\cos x$。連続に端点まで拡張したとき $$f(0)=0,\quad f(\pi/2)=\pi/2-1>0,\quad f(\pi)=-2<0.$$ $0<x<\pi/2$ で $f'>0$ なので $f(x)>0$。$\pi/2<x<\pi$ では $f'<0$ でxが大きくなると必ず小さくなり、正から負へ移るため、この区間に零点がちょうど一つ存在する。

(2) 根の下界 $$\displaystyle f(2\pi/3)=\frac{\pi\sqrt3}{3}-\frac32>\sqrt3-\frac32>0,$$ ここでは $\pi>3$ と $\sqrt3>3/2$ を用いた。$\pi/2<x<\pi$ でxが大きくなると必ず小さくなり、$f(\alpha)=0$ だから $$\displaystyle \alpha>\frac{2\pi}{3}.$$

(3) 面積比較 $c=\pi/2-1>0$ とおく。$f$ は $0\le x\le\pi/2$ で増加し、端点値は $0,c$ だから $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}(c-f(x))\,dx.$$ 原始関数 $-x\cos x+2\sin x-x$ より $\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)\,dx=2-\pi/2$、従って $$\displaystyle S=\frac{\pi^2}{4}-2.$$ 一方 $$\displaystyle T=\frac12\alpha c>\frac\pi3c=\frac{\pi^2}{6}-\frac\pi3.$$ $u^2+4u-24$ は $u>0$ で増加し、$\pi<16/5$ より $$\displaystyle \pi^2+4\pi-24<\left(\frac{16}{5}\right)^2+4\frac{16}{5}-24=-\frac{24}{25}<0.$$ したがって $S<\pi^2/6-\pi/3<T$ となり、$S<T$。