6秋田大学 2014年 数学 第6問解答・解説

（i）直線$OQ$の傾きは$\tan(\theta/2)$であり、交点が$(1,t)$だから $$\displaystyle t=\tan\frac{\theta}{2},\qquad 0\le t\le 1.$$ $P$は偏角$\theta$の単位円上の点なので、倍角公式により $$\displaystyle P=(\cos\theta,\sin\theta) =\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right).$$

（ii）$H=(\cos\theta,0)$で、$0\le\theta\le\pi/2$より $$OP=1,\qquad OH=\cos\theta,\qquad PH=\sin\theta.$$ したがって $$\displaystyle r(\theta)=1+\sin\theta+\cos\theta,\qquad y=\frac{1}{1+\sin\theta+\cos\theta} =\frac{1}{1+\sqrt2\cos(\theta-\pi/4)}.$$ この関数は$\theta=\pi/4$を軸に対称で、両端では$y=1/2$、中央では $$\displaystyle y=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1$$ となる。導関数 $$\displaystyle y'=-\frac{\cos\theta-\sin\theta}{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}$$ は$0\le\theta<\pi/4$で負、$\pi/4<\theta\le\pi/2$で正なので、曲線は左半分で減少し、$\theta=\pi/4$で最小となってから増加する。設問のグラフは次の形である。

（iii）$u=\tan(\theta/2)$と置くと、$d\theta=2\,du/(1+u^2)$、また $$\displaystyle 1+\sin\theta+\cos\theta=\frac{2(1+u)}{1+u^2}.$$ 区間端は$\theta=0,\pi/2$に対してそれぞれ$u=0,1$だから $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{r(\theta)} =\int_0^1\frac{du}{1+u} =\left[\ln(1+u)\right]_0^1 =\ln2.$$

半角正接を用いて単位円上の点Pの座標を求め、直角三角形OPHの辺長から周長関数を得る。三角関数の合成と導関数の符号でグラフの対称性・端点・最小点を確認し、半角正接の置換で積分を対数積分へ直す。