5秋田大学 2014年 数学 第5問解答・解説

置き換え$t=x-n$とおくと, $0\le t\le1$で$$g_n(x)=e^{-n}t(1-t),\qquad g_n'(x)=e^{-n}(1-2t).$$ (i) 接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる条件は$$1-2t=-t(1-t)\text{、すなわち } t^2+t-1=0.$$ この区間内の解は$\displaystyle t=\tau=\frac{\sqrt5-1}{2}$であるから, $$\alpha=n+\tau.$$ また$\tau^2=1-\tau$より$\tau(1-\tau)=\tau^3=\sqrt5-2$。

(ii) $f(x)=ce^{-x}$は常に正であり, $g_n(x)>0$となるのは$n<x<n+1$である。接線が一致する共有点を$x=\alpha$とすると, $f'(\alpha)=-f(\alpha)$なので条件から$g_n'(\alpha)=-g_n(\alpha)$となる。(i)の一意性よりその点の座標は$\alpha=n+\tau$。共有点条件から$$ce^{-(n+\tau)}=g_n(n+\tau)=e^{-n}\tau(1-\tau)=e^{-n}(\sqrt5-2),$$したがって$$c=e^\tau(\sqrt5-2)=(\sqrt5-2)e^{(\sqrt5-1)/2}.$$

(iii) $f(\alpha)=e^{-n}(\sqrt5-2)$であり, 接線は$$\ell_n:\quad y=f(\alpha)-f(\alpha)(x-\alpha)=f(\alpha)(1+\alpha-x).$$ よって$Q_n=(\alpha+1,0)$。$u=x-\alpha$とおくと, 凸な指数関数とその接線の差から$$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=f(\alpha)\int_0^1(e^{-u}-1+u)\,du\\&=e^{-n}(\sqrt5-2)\left(\frac12-e^{-1}\right).\end{aligned}$$ したがって等比級数の和より$$\displaystyle \begin{aligned}\lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=0}^n S_k&=(\sqrt5-2)\left(\frac12-e^{-1}\right)\sum\limits _{k=0}^{\infty}e^{-k}\\&=(\sqrt5-2)\frac{\frac12-e^{-1}}{1-e^{-1}}=\frac{(\sqrt5-2)(e-2)}{2(e-1)}.\end{aligned}$$