5大阪大学 2005年 数学 第5問解答・解説

(1) 点Pの座標を用いると、2曲線の値と接線の傾きがそれぞれ等しいから $$\displaystyle t^n=a\log t,\qquad nt^{n-1}=\frac{a}{t}.$$ 第2式から $a=nt^n$ である。これを第1式に代入し、$t^n>0$ を用いると $\log t=1/n$ となる。したがって $$t=e^{1/n},\qquad a=ne.$$

(2) $t>1$ なので、$y=a\log x$ と $x$ 軸で囲まれる部分は $1\le x\le t$ にある。よって $$\displaystyle S_1=\int_0^t x^n\,dx=\frac{t^{n+1}}{n+1},\qquad S_2=a\int_1^t\log x\,dx=a(t\log t-t+1).$$ (1)より $t\log t=t/n$、$a=ne$ だから $$\displaystyle S_1=\frac{e^{(n+1)/n}}{n+1},\qquad S_2=e\{n-(n-1)t\}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=(n+1)\left(\frac{n}{t}-(n-1)\right) =(n+1)\left(ne^{-1/n}-n+1\right).$$

(3)(a) $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{2}-e^{-x}-x+1$ とおくと $$f(0)=f'(0)=0,\qquad f'(x)=x+e^{-x}-1,\qquad f''(x)=1-e^{-x}\ge0\quad(x\ge0).$$ よって $x\ge0$ で $f'(x)\ge f'(0)=0$、さらに $f(x)\ge f(0)=0$ である。これを整理して $$\displaystyle e^{-x}+x-1\le\frac{x^2}{2}$$ を得る。

(3)(b) $\displaystyle g(x)=e^{-x}+x-1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}$ とおく。(a)の結果から $\displaystyle e^{-x}\le1-x+\dfrac{x^2}{2}$ であるから $$\displaystyle g'(x)=-e^{-x}+1-x+\frac{x^2}{2}\ge0\quad(x\ge0).$$ また $g(0)=0$ なので $g(x)\ge0$。これは $$\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\le e^{-x}+x-1$$ を意味する。

(4) (2)の比を $R_n$ とおくと $$\displaystyle R_n=n(n+1)\left(e^{-1/n}+\frac1n-1\right).$$ (3)に $x=1/n$ を代入して正の数 $n(n+1)$ を掛けると $$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2n^2}-\frac{n(n+1)}{6n^3} \le R_n\le\frac{n(n+1)}{2n^2}.$$ 両端はいずれも $n\to\infty$ で $1/2$ に収束するので、はさみうちにより $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_2}{S_1}=\frac12.$$