1大阪大学 2005年 数学 第1問解答・解説

交点の $x$ 座標は $$g(x)=f(x)-mx=2x^3+x^2-mx-3=0$$ の実数解に一致する。したがって、$g$ が相異なる3個の実数解をもつ条件を調べる。

$$g'(x)=6x^2+2x-m.$$ $\displaystyle m\le-\frac16$ なら $g'(x)\ge0$ で、$x_1<x_2$ なら $g(x_1)<g(x_2)$ となるから、$g(x)=0$ は実数解を1個だけもつ。そこで $\displaystyle m>-\frac16$ とし、導関数の2つの解を $$\displaystyle u=\frac{-1-\sqrt{1+6m}}6,\qquad v=\frac{-1+\sqrt{1+6m}}6\quad(u<v)$$ とおく。$g'(x)=6(x-u)(x-v)$ より、$g$ は $u$ まで増加し、$u$ から $v$ まで減少し、$v$ 以後増加する。また、$x\to-\infty$ で $g(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $g(x)\to\infty$ である。よって相異なる3個の実数解をもつための必要十分条件は $$g(u)>0,\qquad g(v)<0$$ である。実際、このとき各単調区間に1個ずつ解をもつ。等号の場合は極値点で重解となり、異なる3点にはならない。

臨界点 $r$ では $m=6r^2+2r$ なので $$g(r)=2r^3+r^2-(6r^2+2r)r-3 =-(r+1)(4r^2-3r+3).$$ ここで $$\displaystyle 4r^2-3r+3=4\left(r-\frac38\right)^2+\frac{39}{16}>0,$$ ゆえに $g(r)$ の符号は $-(r+1)$ の符号である。したがって $g(u)>0$ は $u<-1$ と同値であり、 $$\displaystyle \frac{-1-\sqrt{1+6m}}6<-1 \quad\text{すなわち}\quad \sqrt{1+6m}>5 \quad\text{すなわち}\quad m>4.$$ また $m>4$ なら $\displaystyle v>\frac23>-1$ となるので $g(v)<0$ も成り立つ。よって求める範囲は $$\boxed{m>4}.$$