5広島大学 2005年 数学 第5問解答・解説

(1) $f'(x)=3(2x-1)(2x+1)$。従って $x<-1/2$ と $x>1/2$ で増加，$-1/2<x<1/2$ で減少する。極大値は $f(-1/2)=3/2$，極小値は $f(1/2)=-1/2$。 (2) 三倍角公式より $4k^3-3k=\cos(2\pi/3)=-1/2$ なので $f(k)=0$。 (3) $0<2\pi/9<\pi/3$ より $k>1/2$。$f$ は $x>1/2$ で増加し（異なるxの値に対して同じ値をとらず），$f(3/4)=-1/16<0=f(k)$ なので $k>3/4$。 (4) $g(x)=\cos x-x$ とする。$2\pi/9<0.7<3/4$ より $g(2\pi/9)>0$。 また $\sqrt2/2<3/4<\pi/4$ より $g(\pi/4)<0$。連続性から両点の間に根がある。 根は $|x|\le1$ を満たすが，$-1\le x<0$ では $\cos x>0$ なので根はない。$0\le x\le1$ では $\cos x$ が減少し $x$ が増加するから根は一つだけである。従って $2\pi/9<\alpha<\pi/4$。