4広島大学 2005年 数学 第4問解答・解説

分母 $x^2+1$ は常に正なので $f$ は全実数で微分可能である。$x=1/2$ で極値をとる条件から $f'(1/2)=0$。微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{-4x^2-2ax+4}{(x^2+1)^2}.$$ よって $3-a=0$、すなわち $a=3$。

このとき $f(x)=(4x+3)/(x^2+1)$ であり、 $$\displaystyle f(x)+1=\frac{(x+2)^2}{x^2+1}\ge0,\qquad 4-f(x)=\frac{(2x-1)^2}{x^2+1}\ge0.$$ 等号はそれぞれ $x=-2$、$x=1/2$ で成立する。したがって最小値は $-1$、最大値は $4$。

最後に $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1f(x)\,dx &=\int_0^1\frac{4x}{x^2+1}\,dx +3\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx\\ &=\left[2\log(x^2+1)+3\tan^{-1}x\right]_0^1 =2\log2+\frac{3\pi}{4}. \end{aligned}$$