2広島大学 2005年 数学 第2問解答・解説

(1) 純虚数の解を $it$（$t$ は$0$でない実数）とおく。これを方程式に代入すると$$0=(it)^3+a(it)^2+b(it)+c=(c-at^2)+it(b-t^2).$$実部と虚部がそれぞれ$0$であり、$t\ne0$だから$b=t^2,\ c=at^2$である。したがって$$ab-c=a t^2-a t^2=0.$$

(2) (1)の計算より方程式$(*)$は$$x^3+ax^2+bx+c=(x^2+t^2)(x+a)$$と表せるので、その解は$-a,\ it,\ -it$である。一方、$x^3+8=0$は$$(x+2)(x^2-2x+4)=0$$と因数分解でき、解は$-2,\ 1+\sqrt{3}i,\ 1-\sqrt{3}i$である。よって三角形の頂点を複素平面上で$A=(-2,0), B=(1,\sqrt{3}), C=(1,-\sqrt{3})$とする。辺$AB,AC$の方程式はそれぞれ$$\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2),\qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2),$$辺$BC$の方程式は$x=1$である。実軸との交点は、辺$AB,AC$上では$(-2,0)$、辺$BC$上では$(1,0)$である。$-a<0$だから、実根$-a$が辺上にあるためには$-a=-2$、すなわち$a=2$でなければならない。また、虚軸$x=0$は辺$AB,AC$とそれぞれ$(0,2\sqrt{3}/3)$、$(0,-2\sqrt{3}/3)$で交わり、辺$BC$とは交わらない。したがって$it,-it$がともに辺上にある条件は$t=\pm 2\sqrt{3}/3$である。ゆえに$$\displaystyle b=t^2=\frac{4}{3},\qquad c=at^2=2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$$実際、このとき方程式の解は$-2,\ 2\sqrt{3}i/3,\ -2\sqrt{3}i/3$で、いずれも三角形の頂点または辺上にある。