2京都大学 2001年 数学 第2問解答・解説

方程式の左辺を $$P_a(x)=x^5+x^4-x^3+x^2-(a+1)x+a$$ とおく。虚軸上の複素数を $x=it\ (t\text{ は実数})$ と表すと、 $$P_a(it)=\bigl(t^4-t^2+a\bigr)+i\bigl(t^5+t^3-(a+1)t\bigr)$$ である。したがって、実部と虚部がともに $0$ となる必要がある。

まず $t=0$ のとき、実部の条件から $a=0$ であり、実際 $P_0(0)=0$ だから、この値は条件を満たす。

次に $t\ne0$ のとき、虚部の条件は $$t^4+t^2-a-1=0, \quad\text{すなわち}\quad a=t^4+t^2-1$$ となる。これを実部の条件 $t^4-t^2+a=0$ に代入すると $$\displaystyle 2t^4-1=0, \quad t^4=\frac12.$$ よって $t^2=1/\sqrt2$ であり、 $$\displaystyle a=t^4+t^2-1=\frac{1}{\sqrt2}-\frac12.$$ このとき $t=\pm2^{-1/4}$ とすれば実部・虚部がともに $0$ となるため、実際に虚軸上の解をもつ。以上より求める値は $$\displaystyle \boxed{a=0,\quad a=\frac{1}{\sqrt2}-\frac12}$$ である。