京都大学 2001年数学第3問解答・解説

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1問題

京都大学2001年度第3問

整数 n に対し，f(n) = n(n - 1)/2 とおき， $a_n$ = i^{f(n)} と定める。ただし，i は虚数単位を表す。このとき，a_{n+k} = $a_n$ が任意の整数 n に対して成り立つような正の整数 k をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

周期
$k=8r (r$ は正整数)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$a_n=i^{f(n)}$ が周期 $k$ を持つことは、任意の整数 $n$ で指数差 $\displaystyle \Delta_k(n)=f(n+k)-f(n)=kn+\frac{k(k-1)}2$ が4の倍数であることと同値である。全 $n$ で4の倍数なら $\Delta_k(n+1)-\Delta_k(n)=k$ も4の倍数なので $k=4m$ と書ける。さらに $n=0$ を代入すると $\Delta_k(0)=2m(4m-1).$ $4m-1$ は奇数だから、この数が4の倍数となるには $m$ が偶数でなければならない。従って $8\mid k$ 。

逆に $k=8r\ (r\ge1)$ なら $\Delta_k(n)=8rn+4r(8r-1)$ は任意の整数 $n$ について4の倍数である。ゆえに正の周期はすべて $\boxed{k=8r\quad(r=1,2,\ldots)}.$

この問題で使う考え方

指数差
全整数nに対する必要条件と十分条件

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