京都大学 2001年数学第4問解答・解説

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1問題

京都大学2001年度第4問

xyz 空間内の正八面体の頂点 P_1, P_2, …, P_6 とベクトル v に対し，k ≠ m のとき $\overrightarrow{P_kP_m}$ · v ≠ 0 が成り立っているとする。このとき，k と異なるすべての m に対し $\overrightarrow{P_kP_m}$ · v < 0 が成り立つような点 $P_k$ が存在することを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

存在する。各頂点の位置ベクトルと v との内積が最大となる頂点 $P_k$ を選べば、すべての m≠k について $\overrightarrow{P_kP_m}・v<0$ となる。
$\exists k\in\{1,\dots,6\}\;\forall m\ne k,\quad \overrightarrow{P_kP_m}\cdot\vec v<0$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原点 $O$ を任意に固定し、 $\mathbf p_i=\overrightarrow{OP_i}$ 、 $a_i=\mathbf p_i\cdot\vec v$ とおく。すると任意の $k\ne m$ に対し、 $\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\vec v=(\mathbf p_m-\mathbf p_k)\cdot\vec v=a_m-a_k.$ 仮定よりこれは $0$ でないので、 $a_1,\dots,a_6$ は互いに異なる。したがって最大値を与える添字 $k$ が存在し、そのときすべての $m\ne k$ について $a_m<a_k$ である。よって $\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\vec v=a_m-a_k<0$ がすべての $m\ne k$ について成り立つ。

この問題で使う考え方

ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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