2東京医科歯科大学 2006年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB},\vec c=\overrightarrow{OC},\;x=|\vec a|^2,y=|\vec b|^2,z=|\vec c|^2\text{ と置く。} \vec n=\frac{\vec a}{x}+\frac{\vec b}{y}+\frac{\vec c}{z}\text{ とすれば }\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=\vec n\cdot\vec c=1\text{ なので、平面ABCは }\vec n\cdot\vec X=1\text{ である。} S=\frac1x+\frac1y+\frac1z=|\vec n|^2\text{ とすると、原点からこの平面への垂線の足は }\overrightarrow{OH}=\frac{\vec n}{S}.\text{ よって} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}=(\vec b-\vec a)\cdot(\overrightarrow{OH}-\vec c)=0,\qquad \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}=(\vec c-\vec b)\cdot(\overrightarrow{OH}-\vec a)=0. \text{(2) }\vec u=\overrightarrow{CA},\vec v=\overrightarrow{CB},\;\vec u\cdot\vec u=4,\;\vec v\cdot\vec v=9,\;s=\vec u\cdot\vec v\text{ と置き、}\overrightarrow{CD}=t\vec v\text{ とする。} AH:HD=2:1\text{ より }\overrightarrow{CH}=\frac13\vec u+\frac{2t}{3}\vec v,\quad \overrightarrow{AH}=\frac23(t\vec v-\vec u). \overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}\text{ から }(t\vec v-\vec u)\cdot\vec v=0\text{、すなわち }9t-s=0. \overrightarrow{CH}\perp\overrightarrow{AB}\text{ から }(\vec u+2t\vec v)\cdot(\vec v-\vec u)=0\text{、すなわち }s-4+2t(9-s)=0.\text{ これらより} 18t^2-27t+4=0,\quad t=\frac{27\pm21}{36}=\frac43\text{ または }\frac16.\text{ Dは辺BC上にあるので }0\le t\le1\text{ より }t=\frac16,\;s=\frac32. \overrightarrow{CH}=\frac13\vec u+\frac19\vec v\text{ なので }\alpha=\frac13,\;\beta=\frac19. \text{(3) }AB^2=|\vec v-\vec u|^2=9+4-2\cdot\frac32=10\text{ より }AB=\sqrt{10}. \text{(4) }OA^2+OC^2=4,\;OB^2+OC^2=9,\;OA^2+OB^2=10\text{ を解くと }OA^2=\frac52,\;OB^2=\frac{15}2,\;OC^2=\frac32.\text{ 相互に垂直な三辺を用いて} V_{OABC}=\frac16\,OA\,OB\,OC=\frac16\sqrt{\frac52\cdot\frac{15}2\cdot\frac32}=\frac{5\sqrt2}{8}.$$