3東京医科歯科大学 2006年 数学 第3問解答・解説

(1),(2) 原文では $\log$ の底が明記されていないため、通常の微積分の記法に従い自然対数と解釈する。$q=x+\sqrt{x^2+1}>0$ とおくと $$\displaystyle g'(x)=\frac{1+x/\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}} =\frac1{\sqrt{x^2+1}}.$$ また $g(0)=0$。条件(a),(b)を満たす $\phi$ は同じ導関数と初期値を持つため $$\phi(x)=g(x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right).$$ $y=\phi(x)$ とすると $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$。これを解くと $$\displaystyle x=\frac{e^y-e^{-y}}2.$$ 実際、$x=(e^y-e^{-y})/2$ なら $\sqrt{x^2+1}=(e^y+e^{-y})/2$ なので $x+\sqrt{x^2+1}=e^y$。よって $$\displaystyle h(y)=\frac{e^y-e^{-y}}2.$$

(3) 曲線の長さの積分表示と条件(d)より、$t>0$ に対して $$\displaystyle f'(t)=\ell(t)=\int_0^t\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx.$$ 従って $f'$ はこの積分表示により連続となり、微分して $$f''(t)=\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}.$$ (2)の $\phi$ を用い、連鎖律で $$\displaystyle \frac{d}{dt}\phi(f'(t)) =\frac{f''(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}=1.$$ $f'(0)=0$ および $\phi(0)=0$ より $\phi(f'(t))=t$。したがって逆関数 $h$ を用いて $$\displaystyle f'(t)=h(t)=\frac{e^t-e^{-t}}2\qquad(t\ge0).$$ $f(0)=1$ から $t\ge0$ で $$\displaystyle f(t)=1+\int_0^t\frac{e^s-e^{-s}}2\,ds=\frac{e^t+e^{-t}}2.$$ 条件(c)の偶関数性により、この式は全ての実数 $x$ で成り立つ。確認として、右辺は偶関数で $f(0)=1, f'(0)=0$。さらに $t\ge0$ では $$\displaystyle \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}=\frac{e^x+e^{-x}}2, \qquad \ell(t)=\int_0^t\frac{e^x+e^{-x}}2\,dx=\frac{e^t-e^{-t}}2=f'(t),$$ なので全条件を満たす。