2広島大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) $y=f(x)$、$t=e^x>0$ とおくと、$t^2-2yt-a=0$ である。したがって$t=y\pm\sqrt{y^2+a}$ となる。$a>0$ より$\sqrt{y^2+a}>|y|$ なので、2つの根のうち正の根は$t=y+\sqrt{y^2+a}$ だけである。よって、$y$ を$x$ に戻すと$$f^{-1}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\quad(x\text{ は実数}).$$

(2) (1)の式を微分すると$$\displaystyle \begin{aligned} (f^{-1})'(x)&=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{x+\sqrt{x^2+a}}\\ &=\frac{\dfrac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}}}{x+\sqrt{x^2+a}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}\quad(x\text{ は実数}). \end{aligned}$$

(3) 曲線は$0\le x\le c$ で正なので、求める面積は$$\displaystyle S=\int_0^c\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}\,dx$$ である。(2)で$a=c^2$ とすると、$g(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+c^2}\right)$ は$g'(x)=1/\sqrt{x^2+c^2}$ を満たす。定積分の基本定理を用いて$$\begin{aligned} S&=g(c)-g(0)\\ &=\ln\left(c+\sqrt{2c^2}\right)-\ln c\\ &=\ln\left(c(1+\sqrt2)\right)-\ln c\\ &=\ln(1+\sqrt2). \end{aligned}$$ ここで$c>0$ を用いた。