3広島大学 2016年 数学 第3問解答・解説

各区間での移動距離は速さと時間の積である。時刻 $n$ から $n+1$ までの進行方向は正の実軸から $n\pi/4$ なので、移動ベクトルは $$\displaystyle z_{n+1}-z_n=\left(\frac1{\sqrt2}\right)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right)=\alpha^n.$$ 従って $z_{n+1}=z_n+\alpha^n$（$n\geq1$）。$n=1$ では $z_2=1+\alpha=(3+i)/2$ となり、原文の値とも一致する。

(1) $\alpha^2=i/2$, $\alpha^3=(-1+i)/4$ より $$\displaystyle z_3=z_2+\alpha^2=\frac32+i,\qquad z_4=z_3+\alpha^3=\frac54+\frac54i.$$

(2) $z_1=1$ から有限等比数列の和を用いて $$\displaystyle z_n=1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}\alpha^j =1+\frac{\alpha(1-\alpha^{n-1})}{1-\alpha}.$$ ここで $\alpha/(1-\alpha)=i$ だから $$z_n=1+i-i\alpha^{n-1}.$$

(3) $|\alpha|=1/\sqrt2<1$ なので $z_n\to1+i$。また、時刻 $n$ から $n+1$ の間の点 $P$ は $Q_n$ から距離が高々 $|\alpha|^n$ の線分上にある。この距離も $0$ に近づくため、連続的に移動する点 $P$ 自体も $w=1+i$ に限りなく近づく。

(4) $\operatorname{Re}(w)=1$ であり、 $$\displaystyle \operatorname{Re}(z_n)-1=\operatorname{Re}(-i\alpha^{n-1}) =\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{4}.$$ よって求める条件は $\sin((n-1)\pi/4)>0$。$n-1$ を8で割った余りが1,2,3のときなので、 $$n=8m+2,\quad 8m+3,\quad 8m+4\qquad(m=0,1,2,\ldots).$$