5広島大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1) 下2桁を法100で考える。$n=2,3,\ldots,21$ に対する下2桁は $$04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52$$ であり、20個はすべて異なる。また、$2^{20}=1{,}048{,}576\equiv1\pmod{25}$ である。$n\ge2$ では$4\mid2^n$ なので、 $$2^{n+20}-2^n=2^n(2^{20}-1)$$ は4と25の両方で割り切れ、したがって100で割り切れる。よってこの20個が周期的に繰り返す。初めの下2桁は$n=0,1$ でそれぞれ01, 02で、上の循環部分には含まれないから、循環開始は$n=2$、最小周期は20である。

(2) $A=25k+1$ とおく。$A$ は2桁なので$k=1,2,3$ であり、候補は26, 51, 76である。このうち4の倍数は$76$ だから、$A=76$。

(3) $B=125k+1$ とおく。$B$ は3桁なので$k=1,2,\ldots,7$ であり、候補は $$126,251,376,501,626,751,876$$ である。8の倍数は$376=8\cdot47$ だけだから、$B=376$。

(4) $n\ge3$ なら$8\mid2^n$ である。また、問題文の条件から$125\mid2^{100}-1$ である。したがって $$2^{n+100}-2^n=2^n(2^{100}-1)$$ は8と125の両方で割り切れ、$1000$で割り切れる。よって下3桁は$n\ge3$ で周期100となる。さらに、周期を$t$ とすると、法125で$2^{n+t}\equiv2^n$ となる。$2^n$ は125と互いに素なので$2^t\equiv1\pmod{125}$ であり、条件より最小の正の$t$ は100である。したがって最小周期は100。$n=0,1,2$ の下3桁は001, 002, 004で、いずれも8の倍数ではない一方、$n\ge3$ の各項は8の倍数なので、循環開始は$n=3$ である。