1東京医科歯科大学 2006年 数学 第1問解答・解説

(1)　 (a),(c) より $1\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_5$ であり、(b),(c) より $a_1,\ldots,a_5\le4$ である。したがって、これは $1,2,3,4$ から重複を許して5個選び、小さい順に並べた列に等しい。各値の個数を $x_1,x_2,x_3,x_4$ とすると $$x_1+x_2+x_3+x_4=5,\qquad x_j\ge0.$$ 5個の同じ印と3個の仕切りの並べ方で数えられるので、個数は $$\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom83=56.$$

(2)　 $x_1=a_1-1$、$x_i=a_i\ (i=2,3,4,5)$ とおくと、各 $x_i$ は0以上の整数であり、条件(c)は $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\le3$$ となる。余りを $x_6=3-(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)$ とすれば、$x_1+\cdots+x_6=3$ を満たす非負整数の組の個数に等しい。よって $$\displaystyle \binom{3+6-1}{6-1}=\binom85=56.$$

(3)　 各桁を $d_1,d_2,\ldots,d_n$ とし、$d_1\ge1$、$d_i\ge0$ とする。$x_1=d_1-1$、$x_i=d_i\ (i\ge2)$ とおけば、各 $x_i$ は非負整数で、桁の和は $1+x_1+\cdots+x_n$ である。したがって条件は $x_1+\cdots+x_n\le r-1$ となる。もし $r<1$ なら桁の和は少なくとも1なので該当する数はない。

$1\le r\le9$ のとき、$k=\lfloor r\rfloor$ とおく。左辺は整数だから条件は $x_1+\cdots+x_n\le k-1$ と同値である。また $k\le9$ なので、この条件を満たせば各桁は自動的に0から9の範囲にある。余りを $x_{n+1}=k-1-(x_1+\cdots+x_n)$ とおくと、$n+1$ 個の非負整数の和が $k-1$ となるから、求める個数は $$\displaystyle \binom{(k-1)+(n+1)-1}{(n+1)-1}=\binom{n+k-1}{n}.$$ 以上より、$r\le9$ の実数全体について $$\displaystyle \begin{cases}0&(r<1),\\[2pt]\binom{n+\lfloor r\rfloor-1}{n}&(1\le r\le9). \end{cases}$$ 特に $r$ が整数なら、$1\le r\le9$ で $\displaystyle \binom{n+r-1}{n}$ である。