4千葉大学 2006年 数学 第4問解答・解説

3枚同時に取り出すので、全ての組合せは$\displaystyle \binom{10}{3}$=120通りで等確率である。取り出した数を小さい順にi<j<kとすれば、X=i+j。 (1) X=3となるにはi+j=3でなければならず、正の相異なる整数の組は(i,j)=(1,2)だけである。kは3から10までの8通りだから、有利な組は8通り。したがって確率は$\displaystyle \frac8{120}$=$\displaystyle \frac1{15}$。 (2) 第2小さい数をjと固定すると、2$\le$ j$\le$9、iは1$\le$ i<j、kはj<k$\le$10である。各組のXはi+jなので、全組でのXの合計は $\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{9}$(10-j)$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{j-1}$(i+j)=$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{9}$(10-j)$\displaystyle \frac{3j(j-1)}2$=24+63+108+150+180+189+168+108=990。 よって期待値は全120組に対する平均としてE[X]=$\displaystyle \frac{990}{120}$=$\displaystyle \frac{33}{4}$。