千葉大学 2006年数学第5問解答・解説

二次関数微分・積分の考え

このページには広告が含まれます。

1問題

千葉大学2006年度第5問

関数 $f(x)$ を次のように定義する。

$f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} x & (x \leq 1) \\ 1 & (x > 1) \end{array} \right.$

また $g(x) = -x^{2} + ax + b$ とする。 $y = g(x)$ のグラフが $y = f(x)$ のグラフと 2 点で接するとき, 次の問いに答えよ。

(1) a, b の値を求めよ。

(2) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1) \quad a=\frac52,\quad b=-\frac9{16}.$
$\displaystyle (2) \quad \frac1{96}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{接点の横座標を、}y=x\text{ との接点では }u(\le1)\text{、}y=1\text{ との接点では }v(>1)\text{ とする。接する条件から} \quad g(x)-x=-(x-u)^2,\quad g(x)-1=-(x-v)^2. \text{係数を比較すると }a-1=2u,\quad b=-u^2,\quad a=2v,\quad b-1=-v^2. \text{よって }v-u=\frac12,\quad v^2-u^2=1\text{ だから }(v-u)(v+u)=1. \text{したがって }u=\frac34,\quad v=\frac54,\quad a=\frac52,\quad b=-\frac9{16}. \text{このとき、}x\le1\text{ では }f(x)-g(x)=(x-\frac34)^2\text{、}x>1\text{ では }f(x)-g(x)=(x-\frac54)^2. \text{囲まれる面積は} \quad A=\int_{3/4}^{1}(x-\frac34)^2dx+\int_{1}^{5/4}(x-\frac54)^2dx=\frac1{192}+\frac1{192}=\frac1{96}.$

この問題で使う考え方

二次関数のグラフと接線
二次方程式・重解
定積分による面積

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。