1千葉大学 2006年 数学 第1問解答・解説

解説副本

辺を$a=BC,b=CA=3,c=AB=5$とする。正弦定理と条件$a=5\sin A$から $$\displaystyle 2R=\frac{a}{\sin A}=5.$$ さらに$c/\sin C=2R$かつ$c=5$なので$\sin C=1$。$0<C<\pi$より$C=90^\circ$。よって三平方の定理から $$BC=\sqrt{AB^2-CA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$ 三角形の面積は$S=3\cdot4/2=6$、半周長は$s=(3+4+5)/2=6$。内接円半径を$r$とすると$S=rs$だから$r=1$。

点検結果

- 正弦定理から$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R$。$BC=5\sin A$より2R=5。$\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R$、AB=5なので$\sin C=1$、$0<C<\pi$より$C=90^\circ$。 - 三平方の定理から$BC=\sqrt{5^2-3^2}=4$。面積は6、半周長も$\displaystyle \frac{3+4+5}{2}=6$なので内接円半径は$\displaystyle \frac{\text{面積}}{\text{半周長}}=1$。

出典・範囲

正弦定理、三平方の定理、面積と内接円半径の関係を使用。高校範囲内。