4自治医科大学 2008年 数学 第4問解答・解説

$\angle A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ$ である。正弦定理と外接円の半径 $R=10$ より $$AC=2R\sin B=20\sin30^\circ=10,\qquad AB=2R\sin C=20\sin45^\circ=10\sqrt2.$$ また、補角の関係と加法定理から $$\displaystyle \sin105^\circ=\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ したがって、三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12\,AC\cdot AB\cdot\sin A =\frac12\cdot10\cdot10\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =25(\sqrt3+1).$$ よって $$\displaystyle \frac{S}{5(\sqrt3+1)}=5.$$ 選択肢の数字5に対応する記号はハである。

検算すると、$S=25(\sqrt3+1)$ を指定の分母 $5(\sqrt3+1)$ で割ると、共通因子 $5(\sqrt3+1)$ が約分されて5となる。