20自治医科大学 2008年 数学 第20問解答・解説

6桁の整数は先頭の数字が0でないため、数の大小は左から順に各桁を比べることで決まる。したがって、321450より小さい数を先頭の桁から数える。

先頭が3より小さい場合、先頭は1または2であり、残り5桁の並べ方はそれぞれ $5!$ 通りなので、$2\cdot5!=240$ 個である。

先頭が3である場合、2桁目が2より小さい数字は、残った数字のうち0,1の2通りである。それぞれ残り4桁の並べ方は $4!$ 通りだから、$2\cdot4!=48$ 個。

さらに先頭2桁が32の場合、3桁目が1より小さいのは0だけであり、残り3桁の並べ方は $3!=6$ 通り。先頭3桁が321の場合、4桁目が4より小さいのは0だけなので、残り2桁の並べ方は $2!=2$ 通り。先頭4桁が3214の場合、5桁目が5より小さいのは0だけなので、残り1桁の並べ方は $1!=1$ 通り。

したがって321450より小さい数は $$240+48+6+2+1=297$$ 個である。321450自身を含めると $a=298$ 番目となるから、 $$300-a=300-298=2$$ （共通選択肢はサ）。

検算として、各桁の分岐で0を先頭に置く場合だけ除き、以降は残りの数字をすべて並べる数え方になっている。321450は0,1,2,3,4,5を各1回使う6桁の整数であり、この計数に含めた直前の個数は297である。