22自治医科大学 2008年 数学 第22問解答・解説

導関数は $$f'(x)=3ax^2+2bx+(a^2-40)$$ である。極値をとる $x$ 座標が $2,3$ なので、$f'(2)=f'(3)=0$。また $a\ne0$ より $f'$ は2次式であり、 $$f'(x)=3a(x-2)(x-3)=3ax^2-15ax+18a.$$ 係数を比較して $$2b=-15a,\qquad a^2-40=18a.$$ したがって $\displaystyle b=-\frac{15}{2}a$ であり、 $$a^2-18a-40=0, \qquad (a-20)(a+2)=0.$$ よって $a=20$ または $a=-2$。

極小・極大の順序から適する方を選ぶ。$f'(x)=3a(x-2)(x-3)$ において、$a<0$ のとき、$x<2$ では $f'(x)<0$、$2<x<3$ では $f'(x)>0$、$x>3$ では $f'(x)<0$ である。よって $x=2$ で極小、$x=3$ で極大となるのは $a<0$ の場合であり、$a=-2$。このとき $$\displaystyle b=-\frac{15}{2}(-2)=15.$$ したがって $$\displaystyle \frac{|ab|}{10}=\frac{|(-2)\cdot15|}{10}=3$$ （共通選択肢はタ）。

検算：$a=-2,b=15$ なら $f'(x)=-6(x-2)(x-3)$ となり、符号は $x=2$ で負から正、$x=3$ で正から負へ変わるので、指定の極小・極大と一致する。