24自治医科大学 2008年 数学 第24問解答・解説

$p>0$ なので $$f'(x)=3x^2-3p=3(x-\sqrt p)(x+\sqrt p)$$ の符号は、$x<-\sqrt p$ で正、$-\sqrt p<x<\sqrt p$ で負、$x>\sqrt p$ で正となる。したがって $x=-\sqrt p$ で極大、$x=\sqrt p$ で極小となる。

それぞれの値は $$\begin{aligned} f(-\sqrt p) &=(-\sqrt p)^3-3p(-\sqrt p)+p\\ &=2p\sqrt p+p =p(2\sqrt p+1)>0 \end{aligned}$$ および $$f(\sqrt p) =(\sqrt p)^3-3p\sqrt p+p =p(1-2\sqrt p)$$ である。極大値は $p>0$ なら常に正である。極小値が負となる条件は $$\displaystyle p(1-2\sqrt p)<0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 1-2\sqrt p<0 \quad\text{、すなわち}\quad \sqrt p>\frac12 \quad\text{、すなわち}\quad p>\frac14.$$ 最後の同値では、$\sqrt p$ と $\displaystyle \frac12$ がともに正であるため、両辺を二乗した。境界 $\displaystyle p=\frac14$ では極小値が0となるので、等号は含まれない。

よって条件は $\displaystyle p>\frac1A$ において $A=4$ である。共通選択肢では $\boxed{\text{ナ}}$ に当たる。