2自治医科大学 2008年 数学 第2問解答・解説

$a=\log_{10}2$、$b=\log_{10}5$ とおくと、$a+b=\log_{10}10=1$ であり、$\log_{10}2.5=\log_{10}(5/2)=b-a$ である。したがって、与えられた二次方程式の左辺は $$x^2+2bx+(b-a)=(x+1)(x+b-a)$$ と因数分解できる。実際、$1+b-a=(a+b)+b-a=2b$ である。よって、2つの解は $-1$ と $a-b=\log_{10}(2/5)$ である。 $$\displaystyle 2(10^\alpha+10^\beta) =2\left(10^{-1}+10^{\log_{10}(2/5)}\right) =2\left(\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\right)=1.$$ したがって求める値は1であり、選択肢の記号はカである。

検算として、根の一方は因数 $x+1$ から $-1$、もう一方は $x+b-a$ から $a-b=\log_{10}(2/5)$ と得られ、対応する10の累乗はそれぞれ $1/10$ と $2/5$ である。その和は $1/2$ なので、指定された2倍は1となる。