15自治医科大学 2008年 数学 第15問解答・解説

方程式の二つの解を $\alpha$ と $-\alpha$、残る解を $\beta$ とする。解と係数の関係より $$\alpha-\alpha+\beta=-2p$$ だから、$\beta=-2p$ である。また、二つの解の積の和は $$\alpha(-\alpha)+(-\alpha)\beta+\beta\alpha=3q$$ であり、後ろ二項は打ち消し合うので $$-\alpha^2=3q,\qquad \alpha^2=-3q.$$ さらに三つの解の積は $-r$ だから $$-r=\alpha(-\alpha)\beta=-\alpha^2(-2p)=2p\alpha^2=-6pq.$$ よって $r=6pq$ となり、$p,q\ne0$ より $$\displaystyle \boxed{\frac{r}{pq}=6}\quad\text{（選択肢マ）}.$$ 確認として、$r=6pq$ を代入した左辺は $$x^3+2px^2+3qx+6pq=(x+2p)(x^2+3q)$$ と因数分解でき、二次因子の二つの解は和が $0$ である。