東京慈恵会医科大学 2008年数学第2問解答・解説

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1問題

東京慈恵会医科大学2008年度第2問

$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=a,\qquad \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}=b$ とする。 $a$ と $b$ の値を求めたい。以下の設問(1)、(2)、(3)に答えよ。

(1) 角 $\theta$ （ラジアン）が $\cos3\theta=\cos4\theta\quad\cdots\quad\text{①}$ をみたすとき、解のひとつが $\cos\theta$ であるような4次の方程式を求めよ。

(2) $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{7}$ のとき、 $\cos\theta$ が解のひとつであるような3次の方程式を求めよ。

(3) 設問(2)の結果を用いて、 $a$ および $b$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0$
(2)
$8x^3+4x^2-4x-1=0$
(3)
$a=−1/2, b=1/8$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $x=\cos\theta$ とする。倍角公式から $\cos3\theta=4x^3-3x,\qquad \cos4\theta=8x^4-8x^2+1.$ 従って $\cos3\theta=\cos4\theta$ のとき $8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0.$

(2) $\theta=2\pi/7$ ならば $\cos3\theta=\cos6\pi/7=\cos8\pi/7=\cos4\theta$ 。したがって前問の方程式が成り立ち、因数分解すると $(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)=0.$ $x=\cos(2\pi/7)\ne1$ なので、求める三次方程式は $8x^3+4x^2-4x-1=0.$

(3) $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{7},\cos\frac{4\pi}{7},\cos\frac{6\pi}{7}$ はこの三次方程式の3根である。解と係数の関係から、その和は $\displaystyle -\frac48=-\frac12$ 、積は $\displaystyle -\frac{-1}{8}=\frac18$ 。よって $\displaystyle a=-\frac12,b=\frac18$ 。

三倍角・四倍角をcosθの多項式で表して四次方程式を作る。θ=2π/7を代入すると三次因子を得る。3つの余弦値がその三次式の根なので、和と積を解と係数の関係で求める。

この問題で使う考え方

三倍角・四倍角公式
因数分解
解と係数の関係

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