東京慈恵会医科大学／2008年度／1次

東京慈恵会医科大学 2008年数学第1問解答・解説

いろいろな式微分法積分法場合の数と確率統計的な推測ベクトル平面上の曲線と複素数平面

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1問題

東京慈恵会医科大学2008年度第1問

次の $\square$ にあてはまる答えを解答欄に記入せよ。

(1) $n$ を3以上の整数とする。1から $n$ までの数字がひとつずつ書かれた、合計 $n$ 個の球が袋の中にある。無作為に3個の球をとり出し、書かれている数を小さい順に並べたときの中央の値を $X$ とする。 $X$ は確率変数である。 $X$ が値 $k$ をとる確率を求めると、 $P(X=k)=\boxed{\text{ア}}\quad(k=1,2,\ldots,n)$ である。さらに、 $X$ の平均（期待値）を求めると、 $E(X)=\boxed{\text{イ}}$ である。

(2) 原点を $O$ とする空間に2点 $P(s,s,s+2),\qquad Q(t,t+2,-t-1)\quad(s,t\text{は実数})$ がある。ベクトル $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ が垂直であるのは、 $s=\boxed{\text{ウ}}\quad\text{または}\quad t=\boxed{\text{エ}}$ のときである。 $s$ の値が $\boxed{\text{ウ}}$ のときの点 $P$ を $P_{0}$ とし、 $t$ の値が $\boxed{\text{エ}}$ 、1のときの点 $Q$ をそれぞれ $Q_{0},Q_{1}$ とする。このとき、三角形 $OQ_{0}Q_{1}$ の面積は $\boxed{\text{オ}}$ であり、四面体 $OP_{0}Q_{0}Q_{1}$ の体積は $\boxed{\text{カ}}$ である。

(3) 変数 $x,y$ の整式 $p=x^{2}+xy+y^{2},\qquad q=x^{2}y+xy^{2}$ がある。このとき、整式 $D=\left\{(x-y)(x+2y)(2x+y)\right\}^{2}$ は整数を係数とする $p,q$ の整式で表せる。これを求めるために、 $r=xy$ として、まず $D$ を $p$ と $r$ の整式で表せば $D=\boxed{\phantom{mmmm}}$ である。これより、 $D$ は $p$ と $q$ の整式として $D=\boxed{\phantom{mmmm}}$ のように表すことができる。

(4) 座標平面上に極方程式で与えられた曲線 $C:r=3e^{2\theta}\quad(\theta\geq0)$ がある。 $n$ を与えられた正の整数とし、 $\theta=0,\quad\theta=2n\pi$ における曲線上の点を順に $A,P$ とし、 $P$ におけるこの曲線の接線を $l$ 、 $l$ と直線 $x=3$ との交点を $Q$ とする。このとき、接線 $l$ の傾きは $\boxed{\text{ケ}}$ であり、線分 $PQ$ の長さは $\boxed{\text{コ}}$ である。一方、点 $A$ から $P$ までのこの曲線の長さは $\boxed{\text{サ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad P(X=k)=\frac{(k-1)(n-k)}{\binom n3}\quad$ 、 $\displaystyle \quad E(X)=\frac{n+1}{2}\quad$ 。 (2) $\quad s=2\quad$ または $\quad t=-1\quad$ 、三角形の面積 $\quad \sqrt6\quad$ 、四面体の体積 $\quad 4\quad$ 。 (3) $\quad D=4p^3-27q^2\quad$ 。 (4) 接線の傾き $\displaystyle \quad \frac12\quad$ 、 $\displaystyle \quad |PQ|=\frac{3\sqrt5}{2}(e^{4n\pi}-1)\quad$ 、曲線 $\quad C\quad$ 上の弧 $\quad AP\quad$ の長さも $\displaystyle \quad \frac{3\sqrt5}{2}(e^{4n\pi}-1)\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $n\ge3$ とする。 $n$ 個から3個を選ぶ方法は $\displaystyle \binom n3$ 通りである。中央値が $k$ となるには、 $1,\ldots,k-1$ から1個、 $k$ 、 $k+1,\ldots,n$ から1個を選ぶので $\displaystyle P(X=k)=\frac{(k-1)(n-k)}{\binom n3}\quad(k=1,2,\ldots,n).$ この分布は $k$ と $n+1-k$ で対称だから $\displaystyle E(X)=\frac{n+1}{2}.$

(2) 点を $P=(s,s,s+2)$ 、 $Q=(t,t+2,-t-1)$ とすると $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} =st+s(t+2)+(s+2)(-t-1)=(s-2)(t+1).$ 従って $s=2$ または $t=-1$ 。よって $P_0=(2,2,4)$ 、 $Q_0=(-1,1,0)$ 、 $Q_1=(1,3,-2)$ である。 $Q_0\times Q_1=(-2,-2,-4),\qquad |Q_0\times Q_1|=2\sqrt6.$ 従って三角形 $OQ_0Q_1$ の面積は $\sqrt6$ 。また $\left|P_0\cdot(Q_0\times Q_1)\right|=24,$ より四面体 $OP_0Q_0Q_1$ の体積は $24/6=4$ 。

(3) $u=x+y$ 、 $r=xy$ と置けば $p=u^2-r$ 、 $q=ru$ である。さらに $(x-y)^2=p-3r,\qquad (x+2y)(2x+y)=2p+3r.$ 従って $D=(p-3r)(2p+3r)^2 =4p^3-27pr^2-27r^3.$ $q^2=r^2u^2=r^2(p+r)$ より $D=4p^3-27q^2.$

(4) 曲線を $x=3e^{2\theta}\cos\theta$ 、 $y=3e^{2\theta}\sin\theta$ と媒介変数表示する。 $\theta=2n\pi$ では $P=(R,0)$ 、ただし $R=3e^{4n\pi}$ 。この点で $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2R,\qquad \frac{dy}{d\theta}=R,$ だから接線の傾きは $1/2$ である。接線と $x=3$ の交点は $Q=(3,(3-R)/2)$ なので $\displaystyle |PQ|=\frac{\sqrt5}{2}(R-3) =\frac{3\sqrt5}{2}(e^{4n\pi}-1).$ 一方、 $A$ から $P$ まで曲線 $C$ に沿う弧長は $\displaystyle \int_0^{2n\pi}\sqrt{r^2+(r\prime)^2}\,d\theta =\int_0^{2n\pi}3\sqrt5e^{2\theta}\,d\theta =\frac{3\sqrt5}{2}(e^{4n\pi}-1).$

(1) 中央値を固定した組合せ数を数え、分布の対称性で平均を出す。(2) 内積を因数分解して条件を求め、外積と混合積で面積・体積を計算する。(3) $u=x+y$ 、 $r=xy$ とおき、恒等式を展開して $p,q$ で表す。(4) 曲線を媒介変数表示し、接線の傾き、線分 $PQ$ の長さ、曲線上の弧 $AP$ の長さを別々に求める。

この問題で使う考え方

順序統計の組合せと対称性
内積・外積・混合積
対称式の置換と展開
媒介変数微分と極座標の弧長

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