3東京慈恵会医科大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) $0\leq x\leq2$ では $t=x/2$ で絶対値の中身が符号を変えるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^{x/2}\frac{2}{x-2t+3}\,dt+\int_{x/2}^1\frac{2}{2t-x+3}\,dt\\ &=\left[-\log(x-2t+3)\right]_0^{x/2}+\left[\log(2t-x+3)\right]_{x/2}^1\\ &=\log(x+3)-\log3+\log(5-x)-\log3\\ &=\log\frac{(x+3)(5-x)}{9}. \end{aligned}$$ $2\leq x\leq4$ では $2t-x\leq0$ なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^1\frac{2}{x-2t+3}\,dt =\left[-\log(x-2t+3)\right]_0^1\\ &=\log(x+3)-\log(x+1)=\log\frac{x+3}{x+1}. \end{aligned}$$ 両式は $x=2$ でともに $\log(5/3)$ となる。よって $$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\displaystyle\log\frac{(x+3)(5-x)}{9}&(0\leq x\leq2),\\[4pt]\displaystyle\log\frac{x+3}{x+1}&(2\leq x\leq4).\end{cases}$$

(2) 各区間の内部で微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5-x}=\frac{2(1-x)}{(x+3)(5-x)}\quad(0<x<2),$$ $$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+1}=-\frac{2}{(x+3)(x+1)}<0\quad(2<x<4).$$ したがって $0<x<1$ で増加し、$1<x<4$ で減少する（$x=2$ でも両側の導関数は $-2/15$ である）。よって最大値は $x=1$、最小値は右端 $x=4$ でとる。 $$\displaystyle f(1)=\log\frac{16}{9},\qquad f(4)=\log\frac75.$$ 以上より、最大値は $\log(16/9)$、最小値は $\log(7/5)$ である。