4弘前大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\log(2x+1)-x^2+1\;(x>-\frac12)$ について、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{2}{2x+1}-2x=-\frac{2(2x-1)(x+1)}{2x+1}.$$ 定義域上では $2x+1>0$ かつ $x+1>0$ なので、$\displaystyle -\frac12<x<\frac12$ で $f'(x)>0$、$\displaystyle x>\frac12$ で $f'(x)<0$ である。したがって $\displaystyle x=\frac12$ で最大となり、 $$\displaystyle f\!\left(\frac12\right)=\log 2-\frac14+1=\log 2+\frac34.$$

(2) $q(x)=x^2(x-1)^2=x^4-2x^3+x^2$ とおく。部分積分を繰り返すと、 $$\displaystyle \int q(x)e^{2x}\,dx=e^{2x}\left(\frac{q}{2}-\frac{q'}{4}+\frac{q''}{8}-\frac{q'''}{16}+\frac{q^{(4)}}{32}\right) =e^{2x}\left(\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{7x^2}{2}-\frac{7x}{2}+\frac74\right).$$ よって、 $$\displaystyle \int_0^1 x^2(x-1)^2e^{2x}\,dx=\left[e^{2x}\left(\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{7x^2}{2}-\frac{7x}{2}+\frac74\right)\right]_0^1=\frac{e^2}{4}-\frac74=\frac{e^2-7}{4}.$$