9弘前大学 2008年 数学 第9問解答・解説

$P=(u,v)$ とおくと、$P$ は $u^2+v^2=1$、$v>0$ を満たす。$R=(-1,0)$ と $Q=(0,t)$ を結ぶ直線は $y=t(x+1)$ なので、$v=t(u+1)$。$u>-1$ より $t=v/(u+1)>0$。

(1) 円の式に代入すると $$u^2+t^2(u+1)^2-1=(u+1)\{(1+t^2)u+t^2-1\}=0。$$ $u+1>0$ だから $$\displaystyle u=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad v=\frac{2t}{1+t^2}。$$ ゆえに $\cos\theta=(1-t^2)/(1+t^2)$、$\sin\theta=2t/(1+t^2)$。

(2) 直線 $AQ$ と $BS$ は $$\displaystyle y=\frac{t}{3}(x+3),\qquad y=\frac{3-x}{3t}。$$ これらを連立すると、交点 $T=(X,Y)$ は $$\displaystyle X=\frac{3(1-t^2)}{1+t^2},\qquad Y=\frac{2t}{1+t^2}。$$ よって $X^2/9+Y^2=((1-t^2)^2+4t^2)/(1+t^2)^2=1$ で、$t>0$ より $Y>0$。

逆に $X^2/9+Y^2=1$、$Y>0$ の点では $-3<X<3$ なので、$t=\sqrt{(3-X)/(3+X)}>0$ と定められる。このとき $X=3(1-t^2)/(1+t^2)$。また楕円の式と正の条件から $Y=\sqrt{1-X^2/9}=2t/(1+t^2)$。したがって上半楕円の全点が得られる。端点 $(-3,0),(3,0)$ は含まれない。

答え

(1) $\displaystyle \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\quad \sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$（$t>0$）。 (2) $\displaystyle\frac{X^2}{9}+Y^2=1,\ Y>0$、すなわち上半楕円（端点 $(-3,0),(3,0)$ を除く）。