4山形大学 2008年 数学 第4問解答・解説

$A(\theta)=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta=2\cos(\theta-\pi/3)$ とおくと $$f(\theta)=4+(1+\cos\theta)A(\theta).$$ $A(\theta)\ge-2$、$1+\cos\theta\ge0$ より $$f(\theta)\ge4-2(1+\cos\theta)=2(1-\cos\theta)\ge0.$$ したがって直線上で曲線が切り取る線分の長さは、両方向の半径の和である。

(1) 三角関数の加法定理から $$f(\theta+\pi)=4-(1-\cos\theta)A(\theta).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \ell(\theta)&=f(\theta)+f(\theta+\pi)\\ &=8+2\cos\theta(\cos\theta+\sqrt3\sin\theta)\\ &=9+\cos2\theta+\sqrt3\sin2\theta =9+2\cos\left(2\theta-\frac\pi3\right). \end{aligned}$$

(2) $0\le\theta\le\pi$ のとき $u=2\theta-\pi/3$ は $-\pi/3\le u\le5\pi/3$ の範囲を動く。この区間に余弦の最大値 $1$ と最小値 $-1$ をとる角 $0,\pi$ が含まれる。したがって $$\displaystyle \ell_{\max}=11\quad(\theta=\pi/6),\qquad \ell_{\min}=7\quad(\theta=2\pi/3).$$

(3) $\boldsymbol u_\theta=(\cos\theta,\sin\theta)$ とすると線分の両端は $f(\theta)\boldsymbol u_\theta$ と $-f(\theta+\pi)\boldsymbol u_\theta$ である。その中点の符号付き極半径は $$\displaystyle g(\theta)=\frac{f(\theta)-f(\theta+\pi)}2=A(\theta)=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta.$$

(4) $A(\theta)=2\cos(\theta-\pi/3)$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} x&=g(\theta)\cos\theta=\frac12+\cos\left(2\theta-\frac\pi3\right),\\ y&=g(\theta)\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}+\sin\left(2\theta-\frac\pi3\right). \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=1}.$$

(5) $\theta$ が $7\pi/6\le\theta\le2\pi$ を動くとき、$\phi=2\theta-\pi/3$ は $2\pi\le\phi\le11\pi/3$ を動く。角から $2\pi$ を引けば $0\le\phi\le5\pi/3$ となる。よって描く曲線は中心 $\displaystyle \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$、半径 $1$ の円のうち、偏角 $0$ から $5\pi/3$ まで反時計回りに進む大弧である。始点は $\displaystyle \left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right)$、終点は $(1,0)$ であり、途中で原点を通る。

図の灰色破線は円全体、青い太線は $\phi=2\theta-\pi/3$ が $0$ から $5\pi/3$ まで増加するときの大弧であり、矢印は進行方向を示す。両端点と、途中で通過する原点を示した。

$A(\theta)=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta$ と置くと、$\displaystyle A=2\cos(\theta-\frac{\pi}{3})$、$|A|\le2$。$f(\theta)=4+(1+\cos\theta)A\ge2(1-\cos\theta)\ge0$ なので、線分の長さは両向きの半径の和。これを展開して(1)を得る。合成余弦の範囲から(2)。中点の符号付き半径は $\displaystyle \frac{f(\theta)-f(\theta+\pi)}2=A$ なので(3)。直交座標は $\displaystyle x=\frac12+\cos(2\theta-\frac{\pi}{3}),\ y=\frac{\sqrt3}{2}+\sin(2\theta-\frac{\pi}{3})$ となり(4)、(5)では角が $0$ から $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$ まで増加する。図示要求に対応する図を追加し、境界の扱いと軌跡の進行方向を表示した。