3山形大学 2008年 数学 第3問解答・解説

図のように, 東西方向に走る 4 本の道と, 南北方向に走る 5 本の道をもつ地区がある.

(1) 赤玉が 4 個, 白玉が 4 個入った袋をもって A 地点に立ち, その後, 下記の手順 $[a_{1}]$ , $[a_{2}]$ , $[a_{3}]$ にしたがって行動するものとする.

$[a_{1}]$ 袋から無作為に玉を1個取り出す.取り出した玉は袋に戻さない.

$[a_{2}]$ 取り出した玉の色が赤ならば現在地より一区画東の地点に移動し，白ならば一区画北の地点に移動する.ただし，この地区の外に出ることは禁じられている.取り出した玉の色の指示にしたがう移動ができない場合は，移動せず，もう1回袋から無作為に玉を1個取り出し， $[a_{2}]$ の冒頭に戻る.なお，このときも，取り出した玉は袋に戻さない.

$[a_{3}]$ 移動後の地点で再び $[a_{1}]$ から始まる手順にしたがう行動を開始する. B 地点に到着するまでこれを繰り返す.

このとき次の (i), (ii), (iii) に答えよ.

(i) C 地点を経由して B 地点に到着する確率 $P_{1}$ を求めよ.

(ii) E 地点と F 地点を経由し, しかも, 玉を取り出す回数が 8 回で B 地点に到着する確率 $P_{2}$ を求めよ.

(iii) D 地点を経由せず, しかも, 玉を取り出す回数が 7 回で B 地点に到着する確率 $P_{3}$ を求めよ.

(2) D 地点に赤玉と白玉が同じ個数入っている箱を設置し, 次の規則 [b] を考える.

[b] 移動の過程で D 地点に到着した場合は, 到着の直後に, その箱の中から無作為に玉を 1 個取り出し, 上述の袋に入れる.

赤玉が4個，白玉が4個入った袋をもってA地点に立ち，その後， $[a_{1}]$ ， $[a_{2}]$ ， $[a_{3}]$ ，および $[b]$ にしたがって行動するものとする。

このとき次の(i), (ii)に答えよ.

(i) 袋から玉を取り出す回数が9回でB地点に到着する確率 $P_{4}$ を求めよ.

(ii) 袋から玉を取り出す回数が7回でB地点に到着する確率 $P_{5}$ を求めよ.