4琉球大学 2017年 数学 第4問解答・解説

P(A=RR)=$\displaystyle \frac{\binom42}{\binom{10}2}$=$\displaystyle \frac2{15}$,　 P(A=RW)=$\displaystyle \frac{4\cdot6}{\binom{10}2}$=$\displaystyle \frac8{15}$,　 P(A=WW)=$\displaystyle \frac{\binom62}{\binom{10}2}$=$\displaystyle \frac13$.

RRまたはRW後は袋が赤3・白6、WW後は赤4・白5（いずれも計9個）。

(1) P(WW, B=RR)=$\displaystyle \frac13$$\displaystyle \frac{\binom42}{\binom92}$=$\displaystyle \frac1{18}$.

(2) P(B=RR)=$\displaystyle \left(\frac2{15}+\frac8{15}\right)$$\displaystyle \frac{\binom32}{\binom92}$+$\displaystyle \frac13$$\displaystyle \frac{\binom42}{\binom92}$=$\displaystyle \frac19$.

(3) $P(\text{A=WW}\mid\text{B=RR})$=$\displaystyle \frac{1/18}{1/9}$=$\displaystyle \frac12$.

Aが取り出した2個は袋から除かれ、その後、条件に応じて指定色の玉を1個だけ袋へ戻す。Aの結果が赤赤・赤白・白白である確率はそれぞれ$\displaystyle \frac2{15},\frac8{15},\frac13$。赤赤または赤白ならBの時点で袋は赤3個・白6個の計9個、白白なら赤4個・白5個の計9個である。 問1は白白の後にBが赤2個を引く確率だから$\displaystyle \frac13\cdot\frac{\binom42}{\binom92}=\frac1{18}$。 問2は全確率より$\displaystyle \left(\frac2{15}+\frac8{15}\right)\frac{\binom32}{\binom92}+\frac13\frac{\binom42}{\binom92}=\frac19$。 問3は条件付き確率で$\displaystyle \frac{1/18}{1/9}=\frac12$。