3九州大学 2016年 数学 第3問解答・解説

正六角形の頂点を添字を $6$ を法として表す。目 $k=1,\ldots,5$ では $P_i$ から $P_{i+k}$ へ移り、目が $6$ では $x$ 軸対称な $P_{-i}$ へ移る。$P_0,P_3$ は $x$ 軸上なので、この式は「動かさない」という条件も含んでいる。

どの頂点から出発しても、次に $P_0$ へ移る目はちょうど一つである。$P_0$ からは目 $6$、$P_3$ からは目 $3$ である。頂点 $P_i$（$i=1,2,4,5$）からは、目 $k$ が $i+k\equiv0\pmod6$ を満たす場合に限り通常の移動で $P_0$ に着く。該当する目はそれぞれ $5,4,2,1$ の一つだけであり、目 $6$ は $P_{-i}\ne P_0$ に移す。よって、現在地によらず次の一投で $P_0$ に移る確率は $1/6$。

$n-1$ 回投げた後に $P_i$ にいる確率を $q_i$ とする。このとき $\displaystyle \sum\limits _{i=0}^{5}q_i=1$ であり、全確率の公式から $$\displaystyle \Pr(\text{$n$ 回後に }P_0)=\sum\limits _{i=0}^{5}q_i\cdot\frac16=\frac16.$$ したがって、(1)の2回後、(2)の3回後、(3)の任意の自然数 $n\ge1$ 回後のいずれも、求める確率は $\displaystyle \boxed{\dfrac16}$。