5九州大学 2016年 数学 第5問解答・解説

(1)　 まず，$0$ 以上の整数 $n$ について $z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。　 $n=0$ のとき，$z^0=1=\cos 0+i\sin 0$ であるから成り立つ。　 $n=k$（$k\ge 0$）で成り立つと仮定すると，加法定理により $$\begin{aligned}z^{k+1}&=z^k\cdot z=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\&=(\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\&=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta\end{aligned}$$ となり，$n=k+1$ でも成り立つ。ゆえに，すべての $0$ 以上の整数 $n$ について $z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ が成り立つ。　 次に，$n$ が負の整数の場合を考える。$n=-m$（$m$ は正の整数）とおく。$z\bar z=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より $$\displaystyle \frac1z=\bar z=\cos\theta-i\sin\theta=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$$ である。上で示した結果を，角 $-\theta$ と非負整数 $m$ に対して適用すると $$\displaystyle z^{-m}=\left(\frac1z\right)^m=\cos(-m\theta)+i\sin(-m\theta)$$ すなわち $z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ が $n=-m$ でも成り立つ。　 以上より，すべての整数 $n$ について $$z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta \tag{$*$}$$ が成り立つ。$(*)$ の $n$ を $-n$ に置き換えると，$\cos(-x)=\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x$ より $$z^{-n}=\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)=\cos n\theta-i\sin n\theta$$ すなわち $$\displaystyle \frac{1}{z^n}=\cos n\theta-i\sin n\theta \tag{$**$}$$ を得る。$(*)+(**)$ より $$\displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta \quad\text{より}\quad \cos n\theta=\frac12\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)$$ $(*)-(**)$ より $$\displaystyle z^n-\frac{1}{z^n}=2i\sin n\theta \quad\text{より}\quad \sin n\theta=\frac{1}{2i}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)$$ ここで $\displaystyle \dfrac{1}{2i}=\dfrac{1}{2i}\cdot\dfrac{-i}{-i}=\dfrac{-i}{2}=-\dfrac{i}{2}$ であるから $$\displaystyle \sin n\theta=-\frac{i}{2}\left(z^n-\frac{1}{z^n}\right)$$ を得る。（証明終わり）　 　 (2)　 $\cos x+\cos 2x-\cos 3x=1$（$0\le x<2\pi$）を解く。倍角公式 $\cos 2x=2\cos^2x-1$ と，加法定理を用いた $$\cos 3x=\cos(2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x =(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x$$ に $\sin^2x=1-\cos^2x$ を代入すると $$\cos 3x=(2\cos^2x-1)\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x=4\cos^3x-3\cos x$$ を得る。$c=\cos x$ とおくと，与式は $$c+(2c^2-1)-(4c^3-3c)=1$$ $$\text{展開・移項して得る同値な式は}\quad -4c^3+2c^2+4c-2=0.$$ さらに両辺を $-2$ で割ると、これと同値な式 $$2c^3-c^2-2c+1=0$$ を得る。$c=1$ を代入すると $2-1-2+1=0$ となるので $c-1$ を因数にもつ。実際に割ると $$2c^3-c^2-2c+1=(c-1)(2c^2+c-1)=(c-1)(2c-1)(c+1)$$ と因数分解できる。よって $$\displaystyle \cos x=1,\ \frac12,\ -1$$ $0\le x<2\pi$ の範囲でそれぞれを解くと $$\displaystyle \cos x=1\quad\text{より}\quad x=0,\qquad \cos x=\frac12\quad\text{より}\quad x=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\qquad \cos x=-1\quad\text{より}\quad x=\pi$$ 以上より $$\displaystyle x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3}$$ （検算：$x=0$ のとき $1+1-1=1$。$x=\pi/3$ のとき $\displaystyle \tfrac12-\tfrac12-(-1)=1$。$x=\pi$ のとき $-1+1-(-1)=1$。$x=5\pi/3$ のとき $\displaystyle \tfrac12-\tfrac12-(-1)=1$。いずれも成り立つ。）　 　 (3)　 $A=20^\circ$ とおくと，$40^\circ=60^\circ-A$，$80^\circ=60^\circ+A$ と表せる。半角・倍角の関係 $\displaystyle \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}$ を用いると $$\displaystyle \sin^2 20^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 80^\circ =\frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos(120^\circ-2A)}{2}+\frac{1-\cos(120^\circ+2A)}{2}$$ $$\displaystyle =\frac32-\frac12\Big[\cos 2A+\cos(120^\circ-2A)+\cos(120^\circ+2A)\Big]$$ 加法定理により $$\begin{aligned}\cos(120^\circ-2A)&=\cos120^\circ\cos2A+\sin120^\circ\sin2A,\\ \cos(120^\circ+2A)&=\cos120^\circ\cos2A-\sin120^\circ\sin2A\end{aligned}$$ であるから，両辺を加えると $$\displaystyle \cos(120^\circ-2A)+\cos(120^\circ+2A)=2\cos120^\circ\cos2A=2\left(-\frac12\right)\cos2A=-\cos2A$$ したがって $$\cos 2A+\cos(120^\circ-2A)+\cos(120^\circ+2A)=\cos2A-\cos2A=0$$ よって $$\displaystyle \sin^2 20^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 80^\circ=\frac32-\frac12\cdot0=\frac32$$ さらに $\displaystyle \sin^2 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2=\dfrac34$ であるから $$\displaystyle \sin^2 20^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 80^\circ=\frac32+\frac34=\frac64+\frac34=\frac94$$ （検算：近似値 $\sin20^\circ\approx0.3420,\ \sin40^\circ\approx0.6428,\ \sin60^\circ\approx0.8660,\ \sin80^\circ\approx0.9848$ より，各二乗の和は約 $\displaystyle 0.1170+0.4132+0.7500+0.9698\approx2.2500=\dfrac94$ と一致する。）（証明終わり）