九州大学 2016年数学第1問解答・解説

1問題

九州大学2016年度第1問配点 50点

この問題の解答は，解答紙26の定められた場所に記入しなさい。

[問題]

座標平面上の曲線 $C_1,C_2$ をそれぞれ $C_1:y=\log x\quad (x>0),\qquad C_2:y=(x-1)(x-a)$ とする。ただし， $a$ は実数である。 $n$ を自然数とするとき，曲線 $C_1,C_2$ が2点 $P,Q$ で交わり， $P,Q$ の $x$ 座標はそれぞれ $1,n+1$ となっている。また，曲線 $C_1$ と直線 $PQ$ で囲まれた領域の面積を $S_n$ ，曲線 $C_2$ と直線 $PQ$ で囲まれた領域の面積を $T_n$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a$ を $n$ の式で表し， $a>1$ を示せ。

(2) $S_n$ と $T_n$ をそれぞれ $n$ の式で表せ。

(3) 極限値 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n\log T_n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle a=n+1-\frac{\log(n+1)}n>1$
(2)
$\displaystyle S_n=\frac{n+2}{2}\log(n+1)-n,\quad T_n=\frac{n^3}{6}$
(3)
$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n\log T_n}=\frac16$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

以下 $\log$ は自然対数とする。 $P=(1,0)$ は両曲線上にあり、 $Q=(n+1,\log(n+1))$ 。交点条件 $C_2(n+1)=\log(n+1)$ から $\displaystyle \log(n+1)=n(n+1-a),\qquad a=n+1-\frac{\log(n+1)}n.$ $n\ge1$ なので $\log(1+n)<n$ （例えば $g(x)=x-\log(1+x)$ は $g(0)=0,\ g'(x)=x/(1+x)>0$ ）であり、 $a>n\ge1$ 、特に $a>1$ 。

PQの式を $\displaystyle \ell(x)=\frac{\log(n+1)}n(x-1)$ とする。 $h(x)=\log x-\ell(x)$ は $h(1)=h(n+1)=0$ 、 $h''(x)=-1/x^2<0$ なので区間内で曲線が弦の上にあり、 $\displaystyle S_n=\int_1^{n+1}(\log x-\ell(x))\,dx =(n+1)\log(n+1)-n-\frac n2\log(n+1) =\frac{n+2}{2}\log(n+1)-n.$ 一方、 $C_2-\ell$ は最高次係数1の二次式で、根が $1,n+1$ 。よって $\ell(x)-C_2(x)=(x-1)(n+1-x)\ge0\quad(1\le x\le n+1).$ 従って $\displaystyle T_n=\int_1^{n+1}(x-1)(n+1-x)\,dx =\int_0^n u(n-u)\,du=\frac{n^3}{6}.$

最後に $\displaystyle S_n=\frac{n+2}{2}\log(n+1)-n\sim\frac n2\log n,\qquad \log T_n=3\log n-\log6\sim3\log n.$ よって比の極限は $1/6$ 。

この問題で使う考え方

交点条件の代入
対数不等式
凹関数と弦
定積分による面積
漸近比較

1問題

2答え

3解答

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