3福島県立医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

・ $0<a<1$ とし、$u\geq0$ に対して $$\displaystyle \Phi_a(u)=\log(u+a)+\frac{2u}{u+a}$$ とおく。微分すると $$\displaystyle \Phi_a'(u)=\frac{u+3a}{(u+a)^2}>0,\qquad \Phi_a(0)=\log a<0,$$ また $u\to\infty$ で $\Phi_a(u)\to\infty$ である。従って $\Phi_a(u)=0$ となる $u_0>0$ はただ一つである。$f'(x)=\Phi_a(x^2)$ だから、$\theta=\sqrt{u_0}$ とすれば方程式の解は $x=\theta,-\theta$ であり、正負に一つずつもつ。

・ $f$ は奇関数であり、$f'(x)=\Phi_a(x^2)$ の符号から $$\text{増加区間 }x<-\theta,x>\theta,\qquad \text{減少区間 }-\theta<x<\theta$$ となる。さらに $\Phi_a(1-a)=2(1-a)>0$ なので $u_0<1-a$、すなわち $0<\theta<\sqrt{1-a}$ である。$f'(\theta)=0$ より $$\displaystyle f(\theta)=\theta\log(\theta^2+a)=-\frac{2\theta^3}{\theta^2+a}.$$ 従って $x=-\theta$ で極大値 $2\theta^3/(\theta^2+a)$、$x=\theta$ で極小値 $-2\theta^3/(\theta^2+a)$ をとる。$x$-切片は $-\sqrt{1-a},0,\sqrt{1-a}$ であり、$f(x)\to-\infty$（$x\to-\infty$）、$f(x)\to\infty$（$x\to\infty$）である。 $$\displaystyle f''(x)=\frac{2x(x^2+3a)}{(x^2+a)^2}$$ より、$x<0$ で $f''(x)<0$、$x>0$ で $f''(x)>0$ となる。原点は変曲点で、$f'(0)=\log a<0$ である。以上の特徴をもつ概形を別添図に示す（図は例として $a=1/4$ で作図）。

・ $t=\theta^2+a$、$m=\log t$ とおくと、原点と $(\theta,f(\theta))$ を通る直線は $y=mx$ である。曲線との差は $$\displaystyle f(x)-mx=x\log\frac{x^2+a}{t}$$ なので交点は $x=-\theta,0,\theta$ であり、直線全体と曲線は左右に二つの有界領域をつくる。$0<x<\theta$ では $f''(x)>0$ だから曲線は弦より下にある。一方の領域の面積を $A_+$ とすると $$\displaystyle \begin{aligned} A_+&=\int_0^\theta\{mx-x\log(x^2+a)\}\,dx\\ &=\frac{\theta^2}{2}\log t-\frac12\{t\log t-t-a\log a+a\}\\ &=\frac12\left\{\theta^2+a\log\frac{a}{t}\right\}. \end{aligned}$$ $f$ と直線はともに奇関数なので、もう一方の領域も同じ面積である。原文の「直線と曲線で囲まれる図形」を直線全体でできる二領域の合計と読めば $$\displaystyle S=2A_+=\theta^2+a\log\frac{a}{\theta^2+a}.$$ もし線分 $O(\theta,f(\theta))$ 側の一領域だけを指すなら、面積は $A_+$ である。

・ 停留条件を $t=\theta^2+a$ で書くと $$\displaystyle \log t=-\frac{2\theta^2}{t}=-2+\frac{2a}{t}.$$ $0<a/t<1$ なので $-2<\log t<0$、すなわち $e^{-2}<t<1$。よって $a/t\leq e^2a\to0$ から $\log t\to-2$、従って $t\to e^{-2}$ および $\theta^2=t-a\to e^{-2}$ である。また $\log t$ は有界で、問題文が許す $a\log a\to0$ と合わせると $$\displaystyle A_+=\frac12\{\theta^2+a\log a-a\log t\}\longrightarrow\frac{e^{-2}}2.$$ 従って二領域の合計を $S$ とすれば $\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}S=e^{-2}$。一領域を指す解釈では極限は $e^{-2}/2$ である。