1福島県立医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1)　 t=$\sin$ x+$\cos$ x=$\sqrt2$$\sin$$\displaystyle \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ とおくと、$-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ である。また、$t=-1$ は $x=\pi$ で実現する。恒等式 $$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x$$ より、 $$\displaystyle \sin x\cos x+\sin x+\cos x =\frac{t^2-1}{2}+t =\frac{(t+1)^2}{2}-1.$$ したがって最小値は $t=-1$ のときの $-1$ である。最大値は区間の端で比較し、 $$\displaystyle \left.\frac{(t+1)^2}{2}-1\right|_{t=\sqrt2}=\frac12+\sqrt2,\qquad \left.\frac{(t+1)^2}{2}-1\right|_{t=-\sqrt2}=\frac12-\sqrt2.$$ よって最大値は $\displaystyle \frac12+\sqrt2$、最小値は $-1$ である。

(2)　 三角形は退化しないので $AB>0$、特に $z\ne0$ かつ $z\ne1$ である。$r=|z|$、$q=|z+1|$ とおくと、 $$AB=|z^2-z|=|z||z-1|,\quad BC=|z^3-z^2|=|z|^2|z-1|,\quad CA=|z^3-z|=|z||z-1||z+1|.$$ よって $(AB:BC:CA)=(1:r:q)$ と正規化できる。辺の比が $2:2:1$ であるため、可能性は $$\displaystyle (1:r:q)=(1:1:\tfrac12),\quad (1:\tfrac12:1),\quad (1:2:2)$$ の三通りである。$z=x+iy$ とし、$|z+1|^2-|z|^2=2x+1$ を用いて各場合を解く。 $$\displaystyle \begin{array}{ll} r=1,\ q=\tfrac12:&2x+1=\tfrac14-1=-\tfrac34,\quad x=-\tfrac78,\quad y^2=1-\tfrac{49}{64}=\tfrac{15}{64};\\ r=\tfrac12,\ q=1:&2x+1=1-\tfrac14=\tfrac34,\quad x=-\tfrac18,\quad y^2=\tfrac14-\tfrac{1}{64}=\tfrac{15}{64};\\ r=2,\ q=2:&2x+1=0,\quad x=-\tfrac12,\quad y^2=4-\tfrac14=\tfrac{15}{4}. \end{array}$$ いずれも得られる点は異なり、対応する三辺の比を満たす。したがって $$\displaystyle z=\frac{-7\pm i\sqrt{15}}8,\quad z=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}8,\quad z=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}2$$ である。

(3)　 交点の $x$ 座標は $$x^3-5x=ax^2-5x\quad\text{と同値な式は}\quad x^2(x-a)=0$$ より $0,a$ である。二つの交点をもつから $a\ne0$。各曲線の傾きは、それぞれ $3x^2-5$、$2ax-5$ である。$x=0$ では両傾きが $-5$ なので直交しない。したがって直交する交点は $x=a$ であり、傾きの積が $-1$ となる条件から $$(3a^2-5)(2a^2-5)=-1,$$ すなわち $$6a^4-25a^2+26=0.$$ $u=a^2$ とおくと $(u-2)(6u-13)=0$ だから、$\displaystyle a=\pm\sqrt2,\ \pm\sqrt{\frac{13}{6}}$。これらはいずれも $a\ne0$ で、交点 $x=a$ の傾きの積は $-1$ となる。

(4)　 $x^3$ を選ぶ因子の個数を $j$、$x$ を選ぶ因子の個数を $i$ とする。指数が7となる条件は $i+3j=7$ であり、可能な組は $(i,j)=(7,0),(4,1),(1,2)$ である。各場合の選び方はそれぞれ $$\displaystyle \binom{10}{7},\qquad \binom{10}{1}\binom{9}{4},\qquad \binom{10}{2}\binom{8}{1}$$ 通りなので、求める係数は $$\displaystyle \binom{10}{7}+\binom{10}{1}\binom{9}{4}+\binom{10}{2}\binom{8}{1}=120+1260+360=1740.$$