3京都府立医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 加法定理および二倍角の公式より、任意の実数 $\theta$ に対して $$\begin{aligned} \sin 3\theta &=\sin(2\theta+\theta)\\ &=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta\\ &=2\sin\theta\cos^2\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\ &=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\\ &=3\sin\theta-4\sin^3\theta. \end{aligned}$$ したがって、示された。

(2) $0\le t\le\pi/3$ なので $0\le 2t\le2\pi/3$ であり、$x=a\cos 2t$ の範囲は $-a/2\le x\le a$ である。また、$a>0$ より $$\displaystyle \sin^2t=\frac{1-\cos 2t}{2}=\frac{a-x}{2a}.$$ この範囲では $\sin t\ge0$ だから、$\sin t=\sqrt{(a-x)/(2a)}$ である。(1)を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} y&=b\sin 3t=b(3\sin t-4\sin^3t)\\ &=b\sin t(3-4\sin^2t) =b\left(1+\frac{2x}{a}\right)\sqrt{\frac{a-x}{2a}}, \qquad -\frac a2\le x\le a. \end{aligned}$$ この区間で $1+2x/a\ge0$ なので、$y\ge0$ であり、$y>0$ は $-a/2<x<a$ のときである。

(3) 上で得た関数を $f(x)$ とおく。$x<a$ で積の微分法と合成関数の微分法を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{b}{a\sqrt{2a}}\left\{2\sqrt{a-x}-\frac{a+2x}{2\sqrt{a-x}}\right\}\\ &=\frac{3b(a-2x)}{2a\sqrt{2a(a-x)}}. \end{aligned}$$ 分母は正であり、$a-2x$ は $x<a/2$ で正、$x=a/2$ で $0$、$x>a/2$ で負である。よって $$\begin{array}{c|ccccc} x&-a/2&&a/2&&a\\ \hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline f(x)&0&\nearrow&b&\searrow&0 \end{array}$$ となる。したがって、曲線は $(-a/2,0)$ から $(a/2,b)$ まで増加し、そこから $(a,0)$ まで減少する。頂点 $(a/2,b)$ では接線が水平である。左端では $f'(-a/2)=\sqrt3b/a$、右端では $x\to a-0$ のとき $f'(x)\to-\infty$ となるので、右端 $(a,0)$ では接線が鉛直となる。媒介変数で見ると $t=0,\pi/6,\pi/3$ に対応する点はそれぞれ $(a,0),(a/2,b),(-a/2,0)$ であり、$t$ の増加につれてこの曲線を右から左へ一度だけたどる。以上が概形を定める。

(4) 曲線と $x$ 軸の間では $y\ge0$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転した立体の、位置 $x$ における断面は半径 $y$ の円板だから $$\displaystyle V=\pi\int_{-a/2}^{a}f(x)^2\,dx.$$ $u=x/a$ とおくと、$dx=a\,du$ で積分範囲は $-1/2\le u\le1$ となり、 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\frac{\pi ab^2}{2}\int_{-1/2}^{1}(1+2u)^2(1-u)\,du\\ &=\frac{\pi ab^2}{2}\int_{-1/2}^{1}(1+3u-4u^3)\,du\\ &=\frac{\pi ab^2}{2}\left[u+\frac32u^2-u^4\right]_{-1/2}^{1} =\frac{27\pi ab^2}{32}. \end{aligned}$$ 検算として、同じ無次元積分で $v=1+2u$ と置くと $$\displaystyle \int_{-1/2}^{1}(1+2u)^2(1-u)\,du =\frac14\int_0^3v^2(3-v)\,dv=\frac{27}{16},$$ となり、上の体積と一致する。また、(2)の式に $x=-a/2,a/2,a$ を代入すると順に $y=0,b,0$ となり、媒介表示から得られる端点と最大点に一致する。体積は $a,b>0$ に対して正で、長さの三乗に比例する形 $ab^2$ である。