2京都府立医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

複素数$z$を$z=x+yi\ (x,y\text{は実数})$とおく。$z\ne0$より$x^2+y^2>0$であり、$\bar z=x-yi$だから、 $$\displaystyle \alpha=\frac34(2x)=\frac{3x}{2},\qquad \beta=\frac34\left(\frac{x-yi}{x^2+y^2}+\frac{x+yi}{x^2+y^2}\right)=\frac{3x}{2(x^2+y^2)}.$$

(1) 分母$x^2+y^2$は正なので、$\beta=0$となるのは$x=0$のときに限る。このとき$z=yi$であり、$z\ne0$より$y\ne0$である。したがって、求める複素数は$z=ti\ (t\text{は0でない実数})$である。

(2) $m=\alpha,\ n=\beta$とおく。$\ m,n$は自然数、すなわち正の整数である。上の式から$\displaystyle x=\frac{2m}{3}$であり、また$\displaystyle \beta=\frac{\alpha}{x^2+y^2}$だから$\displaystyle x^2+y^2=\frac{m}{n}$である。よって $$\displaystyle y^2=\frac{m}{n}-\frac{4m^2}{9}=\frac{m(9-4mn)}{9n}\ge0.$$ $m,n>0$より$\displaystyle mn\le\frac94$であるから、$mn=1$または$mn=2$となる。したがって$(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)$である。それぞれについて $$\displaystyle (m,n)=(1,1):\ (x,y)=\left(\frac23,\ \pm\frac{\sqrt5}{3}\right),\qquad (m,n)=(1,2):\ (x,y)=\left(\frac23,\ \pm\frac{\sqrt2}{6}\right),\qquad (m,n)=(2,1):\ (x,y)=\left(\frac43,\ \pm\frac{\sqrt2}{3}\right).$$ これらの点では$x^2+y^2=m/n>0$であり、$\alpha=m$、$\beta=\alpha/(x^2+y^2)=n$となる。よって条件を満たし、ほかの解はない。

(3) (2)の点を $$\displaystyle P_\pm=\frac23\pm\frac{\sqrt5}{3}i,\qquad Q_\pm=\frac23\pm\frac{\sqrt2}{6}i,\qquad R_\pm=\frac43\pm\frac{\sqrt2}{3}i$$ とする。中心を$p+qi$、半径を$\rho$とする任意の円がこれらを含むとする。実部が$x$、虚部が$\pm y$である2点までの距離の大きい方の2乗は$(p-x)^2+(|q|+|y|)^2$である。$\displaystyle p\le\frac34$なら$R_+,R_-$から $$\displaystyle \rho^2\ge\left(p-\frac43\right)^2+\left(|q|+\frac{\sqrt2}{3}\right)^2\ge\left(\frac{7}{12}\right)^2+\frac29=\frac9{16}.$$ 一方、$\displaystyle p\ge\frac34$なら$P_+,P_-$から $$\displaystyle \rho^2\ge\left(p-\frac23\right)^2+\left(|q|+\frac{\sqrt5}{3}\right)^2\ge\left(\frac1{12}\right)^2+\frac59=\frac9{16}.$$ したがって、すべての包含円の半径は$\displaystyle \frac34$以上である。中心を$\displaystyle \frac34$、半径を$\displaystyle \frac34$とする円では、$P_\pm,R_\pm$までの距離はいずれも$\displaystyle \frac34$、$Q_\pm$までの距離は$\displaystyle \frac14$であるから、6点すべてを含む。この円は最小の半径をもち、円の面積は半径の増加とともに増えるので、これが求める$C$である。