自治医科大学 2016年数学第9問解答・解説

数列いろいろな式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

自治医科大学2016年度第9問

（各設問共通）設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを1つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ.

選択肢：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，ラ 8，ワ 9.

9 複素数 $z$ は， $1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9=0$ を満たす. $\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}$ の値を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

与えられた有限等比和を因数分解して|z|=1を得た後、複素数の絶対値の二乗を成分表示で展開して実部の項を消す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$2\quad$ （サ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

与えられた和を $T$ とする。 $z=1$ なら $T=10$ となるので、 $T=0$ から $z\neq1$ である。等比数列の和の公式より、 $(z-1)T=z^{10}-1=0$ となり、 $z^{10}=1$ 、したがって $|z|=1$ である。

$z=u+vi$ （ $u,v$ は実数）とおくと $u^2+v^2=|z|^2=1$ である。よって $|z-2|^2=(u-2)^2+v^2=5-4u,\qquad |z+2|^2=(u+2)^2+v^2=5+4u.$ したがって求める値は $\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}=\frac{10}{5}=2.$ 選択肢はサである。

この問題で使う考え方

等比数列の一般項と和
複素数の四則演算
複素数平面

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