3自治医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$m+n=17$ より $m=17-n$ である。$t=2^n$ とおくと $t>0$ で、指数法則から $$\displaystyle 2^m+4^n=2^{17-n}+2^{2n}=\frac{2^{17}}{t}+t^2.$$ $\displaystyle A=\frac{2^{17}}{t}$、$B=t^2$ とおけば $A,B>0$ だから、相加相乗平均より $$\displaystyle 2^m+4^n=A+B=\frac A2+\frac A2+B \geq 3\sqrt[3]{\left(\frac A2\right)^2B} =3\sqrt[3]{2^{32}}=3\cdot2^{32/3}.$$ この等号が成立するのは $\displaystyle \frac A2=B$ のとき、すなわち $$\displaystyle \frac{2^{16}}{t}=t^2,\qquad t^3=2^{16}.$$ $t=2^n$ なので $2^{3n}=2^{16}$、従って $\displaystyle n=\frac{16}{3}$。条件 $m+n=17$ から $\displaystyle m=\frac{35}{3}$ となる。このとき等号が成立するため、この組が最小を与える。実際、$2^m=2^{35/3}=2\cdot2^{32/3}$、$4^n=2^{32/3}$ で、和は下界 $3\cdot2^{32/3}$ に一致する。よって $\displaystyle a=\frac{35}{3}$、$\displaystyle b=\frac{16}{3}$ であり、 $$\displaystyle \left|\frac{96a}{35b}\right| =\left|\frac{96\cdot(35/3)}{35\cdot(16/3)}\right| =\frac{96}{16}=6.$$ 選択肢で $6$ に対応する記号はマである。