自治医科大学 2016年数学第8問解答・解説

場合の数と確率

このページには広告が含まれます。

1問題

自治医科大学2016年度第8問

（各設問共通）設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを1つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ.

選択肢：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，ラ 8，ワ 9.

8 $a,b,c,d,e,f$ はすべて自然数とする $(a>b>c>d>e>f)$ . $a+f=b+e=c+d=16$ を満たす $a,b,c,d,e,f$ の組 $(a,b,c,d,e,f)$ の個数を $N$ とする. $\displaystyle \frac{N}{7}$ の値を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

等しい和の条件で上位三数を下位三数から表し、厳密な降順条件を下位三数の選び方に置き換える。得られる一対一対応を使って組数を組合せで数える。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle N=35,\qquad \frac{N}{7}=5,\qquad$ 選択肢：ハ

4解答

解答を見る途中式つきの解答

三つの和が等しく、それぞれ $16$ なので $a=16-f,\qquad b=16-e,\qquad c=16-d$ と表せる。 $a>b$ より $f<e$ 、 $b>c$ より $e<d$ である。また $c>d$ より $16-d>d$ 、従って $d<8$ 。 $d,e,f$ は自然数だから $1\leq f<e<d\leq7.$ 逆に、 $1\leq f<e<d\leq7$ を満たす三つの自然数を選び、 $c=16-d,\ b=16-e,\ a=16-f$ と定めると、 $f<e<d$ から $a>b>c$ 、 $d\leq7$ から $c=16-d>d$ 、また $d>e>f$ であるため $a>b>c>d>e>f$ となる。三つの和もすべて $16$ である。よって条件を満たす組と、集合 $\{1,2,\ldots,7\}$ から異なる三数を選ぶ組は一対一に対応する。 $\displaystyle N={}_7\mathrm{C}_3=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35,\qquad \frac{N}{7}=5.$ 共通の選択肢で $5$ に対応する記号はハである。

この問題で使う考え方

組合せ

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。