2自治医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$t=2^x$ とおくと $t>0$ であり、$x$ が実数全体を動くとき $t$ は正の数全体を動く。与式は $$\displaystyle y=t^2+\frac{1}{t^2}-2t-\frac{2}{t}.$$ ここで $\displaystyle z=t+\frac1t$ とおくと、 $$\displaystyle z-2=\frac{(t-1)^2}{t}\geq0$$ より $z\geq2$ である。また $\displaystyle t^2+\frac1{t^2}=z^2-2$ だから $$y=z^2-2z-2,\qquad y+2=z(z-2)\geq0.$$ したがって $y\geq-2$。等号は $z=2$ のときに限り、そのとき $(t-1)^2=0$ より $t=1$、すなわち $x=0$ である。実際 $x=0$ を元の式に代入すると $y=1+1-2-2=-2$ となるので、最小値 $b=-2$ は $a=0$ のときに実現する。よって $$|a+b|=|0+(-2)|=2.$$ 共通の選択肢では $2$ に対応する記号はサである。