12自治医科大学 2016年 数学 第12問解答・解説

解答

円 $C$ の中心は $(3,-2)$、半径は $\sqrt2$ である。直線 $\ell$ を $2x-y-7=0$ と表すと、中心から直線までの距離 $d$ は $$\displaystyle d=\frac{|2\cdot3-(-2)-7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac1{\sqrt5}.$$ 円の中心から弦 $AB$ に垂線を下ろすと、弦は二等分される。半弦の長さを $h$ とすると、直角三角形に三平方の定理を用いて $$\displaystyle h=\sqrt{(\sqrt2)^2-d^2}=\sqrt{2-\frac15}=\frac3{\sqrt5}.$$ したがって $m=AB=2h=6/\sqrt5$ であり、 $$\sqrt5m=6.$$ 選択肢はマである。