20自治医科大学 2016年 数学 第20問解答・解説

初項1、公比 $q=x(1-x)$ の無限等比級数が収束する条件は $$|q|<1,$$ すなわち $$-1<x(1-x)<1$$ である。右側の不等式は $$x(1-x)<1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2-x+1>0$$ となり、判別式は $1-4=-3<0$ で、左辺は常に正だから、すべての実数 $x$ で成り立つ。左側の不等式は $$-1<x(1-x)\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2-x-1<0.$$ この二次式の方程式の解は $\displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2},\frac{1+\sqrt5}{2}$ なので、 $$\displaystyle a=\frac{1-\sqrt5}{2}<x<\frac{1+\sqrt5}{2}=b.$$ 端点では公比が $-1$ となり級数は収束しないため、不等号は厳密である。したがって $a+b=1$ であり、 $$5|a+b|=5.$$ 共通選択肢では5はハなので、答えは $\boxed{\text{ハ}}$ である。