17自治医科大学 2016年 数学 第17問解答・解説

数列の和の性質から、$n\geq 2$ について $$a_n=S_n-S_{n-1}$$ である。条件を代入すると $$a_n=(5-2n-2a_n)-\{5-2(n-1)-2a_{n-1}\} =-2-2a_n+2a_{n-1},$$ したがって $$\displaystyle a_n=\frac23a_{n-1}-\frac23.$$ また、$S_1=a_1$ なので $$a_1=5-2-2a_1,\qquad a_1=1.$$ ここで $b_n=a_n+2$ とおくと、漸化式は $$\displaystyle b_n=\frac23 b_{n-1}$$ となる。よって $$\displaystyle b_n=b_1\left(\frac23\right)^{n-1}=3\left(\frac23\right)^{n-1}, \qquad a_n=-2+3\left(\frac23\right)^{n-1}.$$ $\displaystyle 0<\frac23<1$ より $\displaystyle \left(\frac23\right)^{n-1}\to0$ だから、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=-2, \qquad \left|\lim\limits _{n\to\infty}a_n\right|=2.$$ 共通選択肢では 2 はサなので、答えは $\boxed{\text{サ}}$ である。