7奈良県立医科大学 2016年 数学 第7問解答・解説

初項は$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$である。$0<a_n<1$ならば$2-a_n>1$なので、 $$\displaystyle 0<a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}<a_n<1.$$ 初項で$0<a_1<1$が成り立つから、帰納的にすべての$n$について$0<a_n<1$であり、逆数をとることができる。

$\displaystyle b_n=\frac1{a_n}$とおくと、与えられた漸化式から $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{2-a_n}{a_n}=2b_n-1.$$ ここで$c_n=b_n-1$とおけば$c_{n+1}=2c_n$、また$c_1=b_1-1=1$である。したがって$c_n=2^{n-1}$、$b_n=2^{n-1}+1$となり、 $$\displaystyle a_n=\frac1{2^{n-1}+1}.$$ この式は初項を満たし、代入すると$\displaystyle \frac{a_n}{2-a_n}=\frac1{2^n+1}$となるので漸化式にも一致する。よって $$\displaystyle a_{11}=\frac1{2^{10}+1}=\boxed{\frac1{1025}}.$$