奈良県立医科大学 2016年数学第1問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

奈良県立医科大学2016年度第1問

$x$ は $0\leq x\leq9$ を満たす整数とし， $x^3-9x^2+18x=t$ とする。 $|t|$ の一の位が0となる $x$ をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

0から9までの全候補を代入し、tの絶対値の一の位を調べる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad x=0,1,3,5,6,8$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

問題文より、 $x$ は $0,1,\ldots,9$ のいずれかである。 $|t|$ の一の位が $0$ であることは、 $t$ が $10$ の倍数であることと同値である。そこで各 $x$ について $t=x^3-9x^2+18x$ を計算する。 $\begin{array}{c|rrrrrrrrrr} x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline t&0&10&8&0&-8&-10&0&28&80&162\\ |t|\text{の一の位}&0&0&8&0&8&0&0&8&0&2 \end{array}$ 一の位が $0$ となるのは $x=0,1,3,5,6,8$ のときである。したがって、求める整数は $x=0,1,3,5,6,8$ である。

この問題で使う考え方

二進法・位取り記数法

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